在高中數學學習中，除了日常的絕對值不等式和基本不等式外，在解決已知x與y關係，求關於x，y分式問題時，可以運用hxq不等式。
hxq不等式的基本形式為a/b+c/d≥（√a+√c）2/（b+d）。
若且唯若ad2=cb2時成立
其中a，b，c，d均大於0
基本介紹
- 中文名：hxq不等式
- 外文名：hxq-inequality
- 別稱：分母求和不等式/分子根方不等式
- 表達式：a/b+c/d≥（√a+√c）2/（b+d）
- 提出者：黃顯強
- 提出時間：2015.4.29
- 套用學科：數學
- 適用領域範圍：已知x與y關係，求關於x，y分式問題
證明
已知a/b+c/d
則添加式子（a/b+c/d）（b+d）/（b+d）
化簡得 （a+c+ad/b+bc/d）/（b+d）
運用基本不等式
（a+c+ad/b+ad/b）/（b+d）≥（a+c+2√（ad/b*bc/d））/（b+d）
=（a+c+2√ab）（b+d）=（√a+√c）2/（b+d）
綜上所述，證得hxq不等式
a/b+c/d≥（√a+√c）2/（b+d）其中a，b，c，d均大於0且b+d≠0
套用
第一類簡單題
x,y是正數,x+3y=2,1/x+1/y的最小值
基本不等式法(x+3y)(1/x+1/y)=1+3y/x+x/y+3=4+(3y/x+x/y)≥4+2√[(3y/x)(x/y)]=4+2√3
因為x+3y=2所以2(1/x+1/y)≥4+2√31/x+1/y≥2+√31/x+1/y的最小值是2+√3
hxq不等式法 1/x+1/y=1/x+3/3y≥（√1+√3）2/（x+3y）=（4+2√3）/2=2+√3
第二類麻煩題
已知x>y>0 x+y≤2 求2/(x+3y) +1/(x-y)最小值
基本不等式法
x>y>0且x+y≤2，
故依均值不等式得
2/(x+3y)+1/(x-y)
=1·[2/(x+3y)+1/(x-y)]
=[(x+3y)+(x-y)]/4·[2/(x+3y)+1/(x-y)]
=3/4+(1/4)·[(x+3y)/(x-y)+2(x-y)/(x+3y)]
≥3/4+(1/4)·2√[(x+3y)/(x-y)·2(x-y)/(x+3y)]
=(3+2√2)/4.
∴(x+3y)/(x-y)=2(x-y)/(x+3y)且x+y=2
即x=-1+2√2，y=3-2√2時，
所求最小值為: (3+2√2)/4。
故依均值不等式得
2/(x+3y)+1/(x-y)
=1·[2/(x+3y)+1/(x-y)]
=[(x+3y)+(x-y)]/4·[2/(x+3y)+1/(x-y)]
=3/4+(1/4)·[(x+3y)/(x-y)+2(x-y)/(x+3y)]
≥3/4+(1/4)·2√[(x+3y)/(x-y)·2(x-y)/(x+3y)]
=(3+2√2)/4.
∴(x+3y)/(x-y)=2(x-y)/(x+3y)且x+y=2
即x=-1+2√2，y=3-2√2時，
所求最小值為: (3+2√2)/4。
hxq不等式法2/(x+3y)+1/(x-y)≥（√2+1）2/（2x+2y）≥（3+2√2）/4（由x+y≤2得來）
所求最小值為(3+2√2)/4。
總結
在已知x，y關係 求關於求關於x，y分式問題時，可以運用hxq不等式便於求解。
例題√（12-3t）+√t的最大值
可以用hxq不等式的另一邊
即√a+√c≤√（a/b+c/d）（b+d）
帶入數據
即√（12-3t）+√t≤√（（12-3t）/b+t/d）（b+d）
根據不等式一正二定原則
消去變數t 使b=3，d=1（b，d任意取值使t消去）
此時√（12-3t）+√t≤√（（12-3t）/b+t/d）（b+d）=√（（12-3t）/3+t/1）（3+1）=√4*4=4
因此√（12-3t）+√t最大值為4.
總結在基本不等式無法消去變數求最大值時，可以用hxq不等式便於求解
hxq猜想
在分式中，分子分母均為正實數，那么任何幾項數之和，大於等於其分子算數平方根之和的平方除以其分母之和
即a/b+c/d+e/f+.....+x/y≥（√a+√c+√e+.....+√x）2/（b+d+f+.....+y）
在hxq猜想成立後，可用以求分式數列和不等式問題。
