自然數（natural number），是非負（目前課本中已將0列為自然數）/正整數（1, 2, 3, 4……）。
自然數通常有兩個作用：可以被用來計數（如“有七個蘋果”），參閱基數；也可用於排序（如“這是國內第三大城市”），參閱序數。
自然數組成的集合是一個可數的，無上界的無窮集合。數學家一般以N來表示它。（以N*表示除0之外的自然數）自然數集上有加法和乘法運算，兩個自然數相加或相乘的結果仍為自然數。也可以作減法或除法，但相減和相除的結果未必都是自然數，所以減法和除法運算在自然數集中並不是總能成立的。
自然數是人們認識的數系中最基本的一類。為了使數的系統有嚴密的邏輯基礎，19世紀的數學家建立了關於自然數的兩種理論：自然數的序數理論和基數理論，使自然數的概念、運算和有關性質得到嚴格的論述。自然數的加法、乘法運算可以在序數或基數理論中給出定義，並且兩種理論下的運算是一致的。
在全球範圍內，目前針對0是否屬於自然數的爭論依舊存在。在中國大陸，2000年左右之前的中國小教材一般不將0列入自然數之內，或稱其屬於“擴大的自然數列”。在2000年左右之後的新版中國小教材中，普遍將0列入自然數。
基本介紹
- 中文名：非負整數
- 外文名：nonnegative integer
- 分類：奇偶性、因數個數
- 性質：運算、帶餘除法等
- 別稱：自然數
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定義
- 1是自然數；
- 每一個確定的自然數n都有一個確定的後繼者，記作n+1。n+1也是自然數；
- 如果m、n都是自然數，並且m+1 = n+1，那么m = n；
- 1不是任何自然數的後繼者；
- 如果某個集合S具有性質：
- 1在S中；
- 若n在S中，則n+1也在S中。
那么S=N。（公理5保證了數學歸納法的正確性，從而被稱為歸納法原理）
若將0也視作自然數，則第一條公理中的1要換成0，並且刪除第4條。
第五條是歸納公理，它確保了在自然數集中數學歸納法的成立，也是對自然數集形態的一種限定。因為即使是有限集，也存在環形映射滿足第二條（自單射）。而只有自然數集才能滿足所有這五條的限定。
戴德金-皮亞諾結構
一個戴德金-皮亞諾結構為一滿足下列條件的三元組（X,x,f）：
- 則A=X。
