基本介紹
- 中文名：布洛赫空間
- 外文名：Bloch space
- 領域：數學
- 性質：重要的解析函式空間
- 來源：巴拿赫空間
- 命名人物：布洛赫
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詳細介紹
布洛赫空間(Bloch space)一類重要的解析函式空間。設f(z)是單位圓D內的解析函式，若：
為有限數，則稱f (z)是布洛赫函式。全體這樣的函式構成以‖f‖B為範數的巴拿赫空間，稱為布洛赫空間，並用B表示。布洛赫函式與著名的布洛赫定理密切相關。若f(z)在D內解析，|f′(0)|=|a1|=1，布洛赫定理指出，存在絕對常數c>0使得f(D)包含一個以f(0)為心以c為半徑的單葉圓盤。定理中的常數c的最大值稱為布洛赫常數，記為c0。c0的準確下界是多少仍是個未解決的問題。若b表示f(D)內最大的單葉圓半徑，則有：
由此得到範數‖f‖B的幾何解釋，即若f(z)=0，則除去一個常數係數，‖f‖B就是f(D)內最大單葉圓盤的半徑。布洛赫空間的一個重要子空間是小布洛赫空間，記為B0，定義如下：
這是B的可分的閉子空間。布洛赫函式有種種等價的描述，比如可用阿達馬(Hadamard，J.(-S.))的缺項條件來刻畫B和B0。新近一個重要發現是，f(z)∈B(或B0)的充分必要條件是對1<p<+∞，
其中：
是D的奇點在a的格林函式。在伯格曼空間理論中，已知La(D)的對偶空間La(D)為B，B0是La(D)的預對偶空間.由此得到：對於面積測度，B0和B分別是零平均振動解析函式VMOA和有界平均振動解析函式BMOA的類似物。布洛赫函式空間有種種推廣，如α型布洛赫空間以及在雙曲型黎曼曲面上的推廣，後者顯示與單位圓情形有本質的差別。
解析函式
解析函式是指能局部展成冪級數的函式，它是複變函數論研究的主要對象。解析函式類包括了數學及其在自然科學和技術套用中所遇到的大多數函式，這類函式關於算術、代數和分析的各種基本運算是封閉的，解析函式在其自然存在的域中代表唯一的一個函式，因此，對解析函式的研究具有特殊的重要性。
對解析函式的系統研究開始於18世紀。歐拉在這方面做出許多貢獻。拉格朗日最早希望建立系統的解析函式理論，他曾試圖利用冪級數的工具來發展這種理論，但未獲成功。
法國數學家柯西以他自己的工作被公認為是解析函式理論的奠基者。1814年他定義正則函式為導數存在且連續，他批判了過去許多錯誤的結果，創立了若干法則，以保證級數運算的可靠性。1825年他得到了著名的柯西積分定理，隨後又建立了柯西積分公式。柯西利用這些工具得到了正則函式在它的定義域內處處可表為收斂的冪級數的結果，其逆命題亦真。所以解析和正則是等價的。後來黎曼對柯西的工作做出了重要的發展。1900年，法國數學家古爾薩改善了正則函式的定義，只要求函式在定義域中處處有導數。
巴拿赫空間
完備的賦范線性空間被稱為巴拿赫空間，是泛函分析研究的基本內容之一。
20世紀以來，當人們研究了許多具體的無限維空間及其上面相應的收斂性以後，自然而然地轉向抽象形態的線性空間以及按範數收斂的概念。德國數學家希爾伯特、法國數學家弗雷歇和匈牙利數學家裡斯在1904—1918年間所引入的函式空間是建立巴拿赫空間理論的基礎。在這些空間裡，強收斂、弱收斂、緊性、線性泛函、線性運算元等基本概念已經得到初步研究。
1922—1923年，波蘭數學家巴拿赫、奧地利數學家哈恩和美國數學家N.維納等分別獨立地引入了賦范線性空間的概念，並以巴拿赫的姓氏來命名。1922年，巴拿赫開始根據他所引入的公理來系統研究已有的函式空間，得到深刻的結果;同一年，哈恩從當時分析數學的許多成果中提煉出共鳴定理;1922—1923年巴拿赫得到壓縮映射的不動點定理、開映射定理。1927年和1929年哈恩和巴拿赫先後證明了完備賦范空間上泛函延拓定理，引入了賦范線性空間的對偶空間(當時稱之為極空間)，這個定理的推廣形式後來在局部凸拓撲線性空間理論中起了重要作用。1931年，巴拿赫寫成《線性運算元理論》。至此，完備賦范線性空間理論的獨立體系已基本形成，並且在不到十年的時間內便發展成本身相當完整而又有多方面套用的理論。
