設X、Y均為距離空間，T為X→Y的線性運算元，如果T將X中的任一有界集映成Y中的列緊集，則T稱為緊運算元，連續的緊運算元稱作全連續運算元。如果X、Y均為賦范線性空間，則T是緊運算元與T是全連續運算元是等價的。
基本介紹
- 中文名：全連續運算元
- 外文名：Completely continuous operator
- 概述：連續的緊運算元
- 特點：最接近於有限維空間上線性運算元
- 領域：泛函分析
- 學科：數學
簡介,定義,性質,線性積分運算元的全連續性,
簡介
全連續運算元是一類重要的有界運算元，它最接近於有限維空間上的線性運算元。設X，Y是賦范線性空間，T是X到Y的連續運算元。如果T把定義域中任何有界集映射成Y中的列緊集，則稱A是全連續運算元，或緊運算元。緊運算元概念是希爾伯特(Hilbert，D.)於1906年引入的，1917年裡斯(Riesz，F.)對緊運算元進行了系統的研究，1930年紹德爾(Schauder，J.P.)進一步證明了緊運算元的更多性質。
定義
設X、Y均為賦范線性空間，T為X→Y的線性運算元，如果T將X中的任一有界集映成Y中的列緊集，則T稱為全連續運算元，或緊運算元。
註：1）距離空間上的全連續運算元的定義為：設X、Y均為距離空間，T為X→Y的線性運算元，如果T將X中的任一有界集映成Y中的列緊集，則T稱為緊運算元，連續的緊運算元稱作全連續運算元。
顯然，如果X、Y均為賦范線性空間，T為X→Y的線性運算元，那么T是緊運算元與T是全連續運算元是等價的。
2）設X、Y均為賦范線性空間，A為X→Y的緊運算元的充要條件是對X中任何有界集，AM的閉包是Y中的緊集；這又等價於對X中任何有界點列{xn}，{Axn}有在Y中收斂的子列。
性質
設X、Y均為賦范線性空間，A為X→Y的緊運算元，則A具有以下性質：
1)運算元T為緊運算元若且唯若T將X中的閉球B(θ，1)={x： ‖x‖≤1}映成Y中的列緊集；
2)緊運算元必定是連續的；
3)設T1、T2為X→Y的緊運算元，α、β∈C，則αT1+βT2為X→Y的緊運算元；
4)設X、Y、Z為賦范線性空間，T1∈L(X，Y)，T2∈L(Y，Z)，如果T1，T2中至少有一個為緊運算元，則T2T1為X→Z的緊運算元。
5)設X為賦范線性空間，Y為巴拿赫空間，而且
，則T也是緊運算元；
6)設T∈L(X，Y)，T為緊運算元，則T的值域是可分的；
7)設T∈L(X，Y)，T為緊運算元，則T*為Y*→X*的緊運算元；
8)設T∈L(X，Y)，如果T為緊運算元，則T將X中的弱收斂點列映成Y中的強收斂點列；
9)設X為賦范線性空間，Y為巴拿赫空間，則X→Y的緊運算元的全體按通常運算元的線性運算按運算元範數構成了L(X，Y)的閉子空間，因此它本身也是一個巴拿赫空間。
線性積分運算元的全連續性
全連續性是線性積分運算元特有的基本性質。設k(x，y)是G×G上的平方可積函式，則以k(x，y)為核的線性積分運算元是映L2(G)入L2(G)的全連續線性運算元。類似地，若k(x，y)在G×G上連續，則以k(x，y)為核的線性積分運算元是映C(G)入C(G)的全連續運算元.線性積分運算元所具有的全連續性，使得線性積分運算元可以作為全連續線性運算元的一種特例而加以研究。人們可以首先用泛函分析的方法研究全連續線性運算元，然後作為套用的特例，導出線性積分運算元的基本性質。
