公式表達
其中，
、
、
，形成了一個三維空間裡的
標準正交基的單位基底向量。
其中，
、
、
等等，都是單位並矢，
、
、
等等，都是並矢。
定義
根據Morse與feshbach所著作的教科書，在三維空間裡，並矢張量
是一個3×3
陣列，其分量
，當從一個坐標系變換到另外一個坐標系時，遵守協變變換(covariant transformation)的定律。
所以，並矢張量是一個二階協變張量。反過來說，按照這定義推廣，任意二階協變張量都是如下並矢張量及其同類的和：
並矢張量運算
這點積運算得到的結果是一個協變向量。
並矢張量的
縮並(tensor contraction)運算，將每一個並置
，替換為兩個單位基底向量的點積
，以方程式表達為
只成立於三維空間，並矢張量的
旋轉因子運算，將每一個並置
，替換為兩個單位基底向量的
叉積，以方程式表達為
進階理論
兩個向量
的
並矢積其實就是
張量積。 兩個並矢積作形式上的相加就是
並矢張量，從而並矢張量和二階
張量（嚴格地說，是二階的反變張量）是同義詞。力學、電動力學中常見的例子就是單位並矢張量
、
轉動慣量以及
馬克士威應力張量等；量子力學中的
角動量耦合(angular momentum coupling)理論也要用到並矢張量。
需要注意：並矢積是不可交換的，也就是說，除非兩個矢量
線性相關，否則一定有
。
在
物理學中，並矢張量最重要的套用之一就是它和向量的縮並。對於並矢積
和向量
的縮並，規定
如果要求這種規定也適用於量子力學中的
態矢量，在這種情況下就要特別注意每個式子右端各個向量的先後順序：用
狄拉克符號來寫，則
。
範例
旋轉
是一個二維空間的 90°旋轉運算元(rotation operator) 。它可以從左邊
點積一個向量來產生一個
旋轉：
或以矩陣表達，
一個一般的二維旋轉並矢張量，會產生
角度反時針方向的旋轉，表達為
量子力學
設
是
量子力學中所有的角動量本徵態所張成的
希爾伯特空間（囊括了所有可能的
總角動量量子數，
，
，
，
），則
。當我們要考慮角動量耦合的時候，就會遇到
態矢量的並矢張量
，而且時常把它記作
或
等等。任取一些
複數（但是其中只能有有限個非零），則
就是一個並矢張量。不妨把這個並矢張量記作
，則它和
的縮並就是
在這其中，量子力學中最廣為人知的就是通過CG矢量耦合系 數(Clebsch-Gordan coefficients) 所組合出來的張量。當然，在角動量耦合理論中，這樣的張量被等同為某些角動量本徵態，除了物理上的考慮之外，這更主要地還是有關
李群及其
李代數的表示的另外一個話題，請參看李群的表示(Lie group representation) 及李代數的表示(Lie algebra representation) ，在這裡就不再深入探討了。
實際上可以這樣說，在量子力學中，只要物理問題涉及了系統的耦合，數學上就會導致態矢量的並矢。在這方面，還可以舉一個常見的例子：由一維
諧振子的態矢量所構成的並矢張量可以用來描述二維諧振子系統。
經典力學
和
，
與
並置成為
、
、
等等，都是單位並矢，
、
、
等等，都是並矢。
也可以表達為
是一個3×3陣列，其分量
，當從一個坐標系變換到另外一個坐標系時，遵守協變變換(covariant transformation)的定律。
是變換後的分量。
、
、
，都是標準正交基的基底向量。
為一個並矢張量：
角度反時針方向的旋轉，表達為
是二維的單位並矢張量。
，則它和
的縮並就是
