負定矩陣

實對稱矩陣A是負定的，如果二次型f(x1,x2,...,xn)=X'AX負定。矩陣負定的充分必要條件是它的特徵值都小於零。若矩陣A是n階負定矩陣，則A的偶數階順序主子式大於 0，奇數階順序主子式小於 0。

負定矩陣是矩陣類中的一種特殊矩陣，它在矩陣理論中占有重要地位。負定矩陣可以看成是與正定矩陣對應的概念，負定矩陣與正定矩陣有著許多相似的性質。

基本介紹

• 中文名：負定矩陣
• 外文名：negative definite matrix
• 學科：線性代數
• 相關：正定矩陣
• 常用判定：它的特徵值都小於零
• 意義：在矩陣理論中占有重要地位

意義

矩陣與方程組、行列式聯繫緊密，又是與自然科學和工程技術相關的數學套用的內容，矩陣變換是基本的數學方法，矩陣在數學中，乃至其他學科中套用廣泛。負定矩陣是矩陣類中的一種特殊矩陣，它在矩陣理論中占有重要地位。負定矩陣可以看成是與正定矩陣對應的概念，負定矩陣與正定矩陣有著許多相似的性質。

定義

設 是一個二次型，對於任意一組不全為0的實數 ，如果都有 ，那么 是負定的。

實對稱矩陣A是負定的，如果二次型 負定

性質

性質1：若矩陣是負定矩陣，則 是負定二次型。

性質2：若矩陣是負定矩陣，則實二次型的負慣性指數等於

性質3：若矩陣是負定矩陣，則有可逆矩陣，使，其中，

性質4：若矩陣是階負定矩陣，當是偶數時，，當是奇數時，

性質5：若矩陣是階負定矩陣，則的偶數階順序主子式大於 0，奇數階順序主子式小於 0

性質6：若矩陣是負定矩陣，則 契約於

性質7：若矩陣 是負定矩陣，則也是負定矩陣

性質8：若矩陣是負定矩陣，則的所有特徵值小於 0

性質9：若矩陣是負定矩陣，則也是負定矩陣

性質10：若矩陣是負定矩陣，則 是正定矩陣

性質11：若矩陣是負定矩陣，則當是偶數時，是負定矩陣，當是奇數時，是正定矩陣

性質12：若矩陣是負定矩陣，存在可逆實矩陣使

判定定理

定理1：矩陣負定的充分必要條件是它的特徵值都小於零

推論1：若矩陣是負定矩陣，則當是偶數時，是負定矩陣，當是奇數時，是正定矩陣

推論2：設A是對稱矩陣， 其中是矩陣A的特徵值，當實數 ， 則是負定矩陣

推論3：任意對稱矩陣， 必有實數， 使得都是負定矩陣

定理2：若矩陣是負定矩陣的充要條件是負慣性指數等於

推論4：若矩陣是階負定矩陣，則的偶數階順序主子式大於 0，奇數階順序主子式小於 0

例題

例1. 判斷下面的矩陣是否負定：

解：特徵多項式為：

得到特徵根： ，即特徵值全部小於0，故該矩陣是負定矩陣。

例2. 判斷二次型是否負定：

解：易知：二次型對應的矩陣為：

它的一階順序主子式

二階順序主子式：

三階順序主子式：

得到矩陣A是負定的， 所以上述二次型為負定二次型