特徵值

特徵值

特徵值是線性代數中的一個重要概念。在數學、物理學、化學、計算機等領域有著廣泛的套用。設 A 是n階方陣,如果存在數m和非零n維列向量 x,使得 Ax=mx 成立,則稱 m 是A的一個特徵值(characteristic value)或本徵值(eigenvalue)。非零n維列向量x稱為矩陣A的屬於(對應於)特徵值m的特徵向量或本徵向量,簡稱A的特徵向量或A的本徵向量。

基本介紹

  • 中文名:特徵值
  • 外文名:Eigen value
  • 時間:1904
  • 提出:希爾伯特
  • 分類:數學
  • 屬於:線性代數
簡介,定義,基本定義,廣義特徵值,計算方法,基本套用,求特徵向量,判斷相似矩陣的必要條件,判斷矩陣可對角化的充要條件,更多套用,

簡介

特徵值是線性代數中的一個重要概念。在數學、物理學、化學、計算機等領域有著廣泛的套用。設 A 是n階方陣,如果存在數m和非零n維列向量 x,使得 Ax=mx 成立,則稱 m 是A的一個特徵值(characteristic value)或本徵值(eigenvalue)。非零n維列向量x稱為矩陣A的屬於(對應於)特徵值m的特徵向量或本徵向量,簡稱A的特徵向量或A的本徵向量。

定義

基本定義

A為n階矩陣,若存在常數λ及n維非零向量x,使得Ax=λx,則稱λ是矩陣A的特徵值,x是A屬於特徵值λ的特徵向量
A的所有特徵值的全體,叫做A的譜,記為
.

廣義特徵值

如將特徵值的取值擴展到複數領域,則一個廣義特徵值有如下形式:AνBν
其中AB為矩陣。其廣義特徵值(第二種意義)λ 可以通過求解方程(AB)ν=0,得到det(AB)=0(其中det即行列式)構成形如AB的矩陣的集合。其中特徵值中存在的複數項,稱為一個“叢(pencil)”。
B可逆,則原關係式可以寫作
,也即標準的特徵值問題。當B為非可逆矩陣(無法進行逆變換)時,廣義特徵值問題應該以其原始表述來求解。
如果AB實對稱矩陣,則特徵值為實數。這在上面的第二種等價關係式表述中並不明顯,因為
A矩陣未必是對稱的。

計算方法

求n階矩陣A的特徵值的基本方法:
根據定義可改寫為關係式
單位矩陣(其形式為主對角線元素為λ-
,其餘元素乘以-1)。要求向量
具有非零解,即求齊次線性方程組
有非零解的值
。即要求行列式
。 解次行列式獲得的
值即為矩陣A的特徵值。將此值回代入原式求得相應的
,即為輸入這個行列式的特徵向量。
求矩陣的全部特徵值和特徵向量的方法如下:
第一步:計算的特徵多項式
第二步:求出特徵方程的全部根,即為的全部特徵值;
第三步:對於的每一個特徵值,求出齊次線性方程組:
的一個基礎解系,則的屬於特徵值的全部特徵向量是
(其中是不全為零的任意實數).
[注]:若的屬於的特徵向量,則也是對應於的特徵向量,因而特徵向量不能由特徵值惟一確定.反之,不同特徵值對應的特徵向量不會相等,亦即一個特徵向量只能屬於一個特徵值.

基本套用

求特徵向量

A為n階矩陣,根據關係式Ax=λx,可寫出(λE-A)x=0,繼而寫出特徵多項式E-A|=0,可求出矩陣A有n個特徵值(包括重特徵值)。將求出的特徵值λi代入原特徵多項式,求解方程(λiE-A)x=0,所求解向量x就是對應的特徵值λi的特徵向量。

判斷相似矩陣的必要條件

設有n階矩陣AB,若AB相似(AB),則有:
1、A的特徵值與B的特徵值相同——λ(A)=λ(B),特別地,λ(A)=λ(Λ),Λ為A的對角矩陣
2、A的特徵多項式與B的特徵多項式相同——|λE-A|=|λE-B|;
3、A等於B的跡——trA=trB/
,其中i=1,2,…n(即主對角線上元素的和);
4、A行列式值等於B的行列式值——|A|=|B|;
5、A等於B的秩——r(A)=r(B)。
因而AB的特徵值是否相同是判斷AB是否相似的根本依據。

判斷矩陣可對角化的充要條件

矩陣可對角化有兩個充要條件:1、矩陣有n個不同的特徵向量;2、特徵向量重根的重數等於基礎解系的個數。對於第二個充要條件,則需要出現二重以上的重特徵值可驗證(一重相當於沒有重根)。
相似對角化相似對角化
若矩陣A可對角化,則其對角矩陣Λ的主對角線元素全部為A的特徵值,其餘元素全部為0。(一個矩陣的對角陣不唯一,其特徵值可以換序,但都存在由對應特徵向量順序組成的可逆矩陣P使
=Λ

更多套用

量子力學:
設A是向量空間的一個線性變換,如果空間中某一非零向量通過A變換後所得到的向量和X僅差一個常數因子,即AX=kX ,則稱k為A的特徵值,X稱為A的屬於特徵值k的特徵向量特徵矢量(eigenvector)。如在求解薛丁格波動方程時,在波函式滿足單值、有限、連續性和歸一化條件下,勢場中運動粒子的總能量(正)所必須取的特定值,這些值就是正的本徵值
奇異矩陣特徵值奇異矩陣特徵值
設M是n階方陣, I是單位矩陣, 如果存在一個數λ使得 M-λI 是奇異矩陣(即不可逆矩陣, 亦即行列式為零), 那么λ稱為M的特徵值。
在A變換的作用下,向量ξ僅僅在尺度上變為原來的λ倍。稱ξ是A 的一個特徵向量,λ是對應的特徵值(本徵值),是(實驗中)能測得出來的量,與之對應在量子力學理論中,很多量並不能得以測量,當然,其他理論領域也有這一現象。

相關詞條

熱門詞條

聯絡我們